本講義的第一篇屬于第一種研究方向，從研究飛機在空中飛行時的位置誤差入手，分別分析那些因素對飛行在空中的飛行位置會產(chǎn)生影響，以及影響的程度。而本篇主要是從第二個研究方向入手，對飛行在航路上的飛機在其周圍進行碰撞危險區(qū)的建模，主要采用在國外間隔標準安全評估工作中一直使用的REICH碰撞危險模型進行研究，并根據(jù)圖1－2對模型中的主要參數(shù)進行取值或給出頻率分布。因為取值過程較為復(fù)雜，一些參數(shù)都是服從一定的概率分布的，因此要想對最終的空域碰撞危險進行預(yù)測，就只能通過隨機采樣取值的Monte Carlo方法對這些參數(shù)在其分布范圍內(nèi)隨機取值，并最終給出總碰撞危險的分布范圍。

利用碰撞危險模型不僅可以對現(xiàn)行間隔標準進行安全性評估，對將要實施修改的間隔標準進行預(yù)測性安全評估，還可以在已知需要達到的安全目標等級情況下，計算出目前條件下可實現(xiàn)的最小間隔標準，以減少空域資源的浪費，減輕空域交通擁擠，圖1－3反映了這個過程。

圖1－3 碰撞危險模型在確定最小間隔標準上的實際應(yīng)用

本篇的第二章將對研究過程中使用的方法和數(shù)學(xué)計算有關(guān)知識進行介紹，第三章將對碰撞危險的有關(guān)知識進行介紹，從第四章開始將分別對側(cè)向、垂直方向和縱向的碰撞危險的計算進行分別討論，由于在討論縱向碰撞危險時缺乏數(shù)據(jù)，因此將它和三個方向上的總碰撞危險以及圖1－3中“安全目標等級”模塊和“確定最小間隔標準”模塊放在一起在第六章里進行介紹。

本篇內(nèi)容只是對間隔標準的安全評估提供一個行之有效的框架結(jié)構(gòu)，一些方法還尚未完善，在今后的評估過程中還需要研究人員對大量的數(shù)據(jù)進行分析和處理，以保證評估結(jié)果的精確可靠。

第二章 數(shù)學(xué)與計算的有關(guān)知識

2.1  有關(guān)的概率論知識

在許多問題的研究中，經(jīng)常會碰到研究一個隨機變量所取的值落在一個區(qū)間的概率： ,但由于 ＝ - ,所以只需知道 和 就可以了。

設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)F(X)=  稱為X的分布函數(shù)。對于隨機變量X的的分布函數(shù)F(X)，存在非負函數(shù) ，使對于任意實數(shù)x有：F(X)= ，則稱x為隨機型變量，其中 稱為x的概率密度函數(shù)。

由定義可知，概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：

1. f（x） 0

2. ＝1

3. x落在區(qū)間（x1，x2）的概率等于該區(qū)間上曲線y＝f（x）之下的面積。

在本課題中將要討論的很多變量例如在不同偏航距離下的偏航飛機數(shù)、相鄰航線上飛機的側(cè)向相對速度 以及飛機在空中飛行的相對地速 的概率密度函數(shù)的形式都如下所示：

f（x）＝     

其中 為常數(shù)，并稱服從這樣概率密度的X服從正態(tài)分布或高斯分布，記為 ,概率密度函數(shù)如左圖所示。當(dāng)已知某變量服從正態(tài)分布或根據(jù)所采集的數(shù)據(jù)進行擬合后是服從正態(tài)分布時，就可根據(jù)左圖所表示的關(guān)系算出 。

本課題中還要用到的分布就是Poisson分布，它主要涉及到進行n次重復(fù)試驗，觀察到某種結(jié)果k次的概率的計算。比如說，進行10組試驗，每次都扔8次硬幣，那么理論上每組試驗觀察到正反面的比例都應(yīng)該是50％，但是實際上每組觀察到的結(jié)果都可能不盡相同。

設(shè)進行n次獨立試驗，每次觀察到某一結(jié)果的概率為  ，則最終觀測到k次這樣的結(jié)果的概率為：

  

其中 >0是一個常數(shù)， ，n趨于無窮大。那么在本課題中k就對應(yīng)著觀測到較大誤差的次數(shù) ， 就對應(yīng)著理論上應(yīng)觀測到的次數(shù)值 。

 在對相鄰航線飛機間丟失側(cè)向間隔的概率 進行計算時，就涉及到相鄰航線上每架飛機丟失一定間隔的概率，這在概率論中是一個二維隨機變量的問題，即對于某些隨機試驗的結(jié)果需要同時用兩個隨機變量來描述。與一維隨機變量相似，對于二維隨機變量（X,Y）的分布函數(shù)F(X,Y)，也存在非負的函數(shù) ，使對于任意x，y有

F(X,Y)＝                                       

函數(shù) 是變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度。當(dāng)隨機變量X,Y的發(fā)生相互獨立時， =f(x)*f(y)。在本課題中x，y分別代表兩架飛機偏航的距離，因此要使這兩架飛機不相撞，就必須滿足 。則計算 就轉(zhuǎn)換為計算 。

概率論中“數(shù)學(xué)期望”又稱均值，定義為 ，當(dāng)不需知道變量的全部變化而只需知道的平均值時，就需要求該變量的數(shù)學(xué)期望。在本課題中，當(dāng)對 的概率密度曲線尾部進行插值后，得到了許多條插值曲線，這時就需要對該部分函數(shù) ＝r ＋（1－r） 求數(shù)學(xué)期望，并且滿足以下性質(zhì)：

1. E(C)=C,其中C是常數(shù)。

2. E(CX)=CE(X)

3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)

在本論文的大量計算中，用到了高等數(shù)學(xué)中的分部積分公式,即：

 

本篇中推導(dǎo)縱向間隔標準碰撞危險評估算式時，由于考慮到通信和管制員干預(yù)緩沖區(qū)的概念，則縱向的碰撞危險就不僅僅包括由于導(dǎo)航誤差而導(dǎo)致的實際位置與理論位置不符而帶來的危險，還應(yīng)該包括由于飛行員和管制員進行通訊時所占用的時間而帶來的碰撞危險，總碰撞危險應(yīng)是這兩者之和，這就涉及到概率論中兩個隨機變量的函數(shù)分布的概念。

記Z=X+Y,（X,Y）的概率密度為f（x，y）則Z=X+Y的分布函數(shù)為：

 

在X和Y相互獨立時，上式中的f（x，y）可表示為：

 

以上公式稱為卷積公式。

2.2  MONTE CARLO方法

早在17世紀，人們就把頻率作為概率的近似值。如果概率計算發(fā)生困難或錯誤，人們就可以通過隨機試驗來得到頻率并用它解決問題。然而在當(dāng)時隨機試驗卻受到一定的限制，因為要使計算結(jié)果的準確度足夠高，就需要進行的試驗次數(shù)相當(dāng)大，因此這種冗長的人工計算在當(dāng)時是被認為不可能的。